Aula 1 - Introdução a sistemas de numeração

11/08/2025

Os sistemas de numeração são conjuntos de símbolos e regras que nos permitem representar quantidades. O sistema que usamos no dia a dia é o decimal, mas existem outros, como o binário, hexadecimal e octal. A principal diferença entre eles é a base, que determina a quantidade de símbolos utilizados.

Sistema de numeração decimal (base 10)

Este é o sistema mais comumente utilizado. Ele usa 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. O valor de um número nesse sistema depende da posição de cada dígito, e cada uma dessas posições representa uma potência de 10, da direita para a esquerda, começando com $10^{0}$ (unidades), $10^{1}$ (dezenas), $10^{2}$ (centenas), e assim por diante.

O número 254, por exemplo, pode ser decomposto da seguinte forma:

$𝟐𝟓𝟒 = 𝟐 \cdot 10^{2} + 𝟓 \cdot 10^{1} + 𝟒 \cdot 10^{0}$

Sistema de numeração binário (base 2)

Este sistema é fundamental para a computação. Ele utiliza apenas dois dígitos: 0 e 1. Os computadores usam esse sistema internamente, em seu hardware, devido à sua simplicidade e eficiência. Para o computador, esse sistema significa ligado (1) e desligado (0). Usar um sistema com mais dígitos, como o decimal, exigiria componentes eletrônicos mais complexos e difíceis de miniaturizar, já que seria necessário representar os diferentes números usando alguma outra característica, por exemplo: 1 Volt representando 0, 1.1 Volt sendo 1, 1.2 Volt significando 2, até chegar em 1.9 Volt para o valor 9. Utilizar essas outras características poderia trazer vantagem na representação dos números, mas traz diversos desafios para construir esses componentes eletrônicos, que seriam muito mais complexos e difíceis de miniaturizar. Além disso, utilizar o sistema binário torna o componente mais robusto a ruídos e variações elétricas. Uma pequena variação em um sinal binário ainda vai ser interpretado corretamente como 0 ou 1, enquanto em outro sistema, a mesma flutuação poderia levar a erros de interpretação.

De forma similar ao sistema decimal, cada posição representa uma potência, mas desta vez de base 2. Da direita para a esquerda, o sistema binário começa com $2^{0}$ (unidades), $2^{1}$ (dezenas), $2^{2}$ (centenas), e assim por diante.

O número binário $10010110$ , por exemplo, representa o seguinte valor decimal:

${𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎}_{2} = 𝟏 \cdot 2^{7} + 𝟎 \cdot 2^{6} + 𝟎 \cdot 2^{5} + 𝟏 \cdot 2^{4} + 𝟎 \cdot 2^{3} + 𝟏 \cdot 2^{2} + 𝟏 \cdot 2^{1} + 𝟎 \cdot 2^{0}$ ${𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎}_{2} = 𝟏 \cdot 128 + 𝟎 \cdot 64 + 𝟎 \cdot 32 + 𝟏 \cdot 16 + 𝟎 \cdot 8 + 𝟏 \cdot 4 + 𝟏 \cdot 2 + 𝟎 \cdot 1$ ${𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎}_{2} = 128 + 16 + 4 + 2$ ${𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎}_{2} = 150$

Sistema de numeração octal (base 8)

Este sistema é similar aos outros, mas utilizando a base 8 como referência, portanto utilizamos 8 dígitos apenas: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. A base da potência para conversão também se torna 8. É menos usado que o hexadecimal, e possui o problema do número se passar facilmente como um decimal, dificultando o entendimento.

O número $4765$ em octal, por exemplo, representa o seguinte valor decimal: ${𝟒𝟕𝟔𝟓}_{8} = 𝟒 \cdot 8^{3} + 𝟕 \cdot 8^{2} + 𝟔 \cdot 8^{1} + 𝟓 \cdot 8^{1}$ ${𝟒𝟕𝟔𝟓}_{8} = 𝟒 \cdot 512 + 𝟕 \cdot 64 + 𝟔 \cdot 8 + 𝟓 \cdot 1$ ${𝟒𝟕𝟔𝟓}_{8} = 2048 + 448 + 48 + 5$ ${𝟒𝟕𝟔𝟓}_{8} = 2549$

Sistema de numeração hexadecimal (base 16)

Neste sistema, temos mais opções de caracteres do que normalmente utilizamos para números no dia a dia (decimal, de 0 a 9), portanto vamos utilizar as letras A a F para representar os outros 6 "dígitos" válidos desse sistema. A tabela a seguir compara todos os dígitos hexadecimais com seus valores correspondentes no decimal:

Hexadecimal	Decimal
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
A	10
B	11
C	12
D	13
E	14
F	15

Dessa forma, para transformar um valor em hexadecimal para decimal, devemos utilizar a tabela acima para encontrar o valor correspondente, em especial para od "dígitos" A a F:

O número $F A 96$ em octal, por exemplo, representa o seguinte valor decimal: $𝐅 A 96_{16} =' F' \cdot 16^{3} +' A' \cdot 16^{2} + 𝟗 \cdot 16^{1} + 𝟔 \cdot 16^{0}$ $𝐅 A 96_{16} = 𝟏𝟓 \cdot 16^{3} + 𝟏𝟎 \cdot 16^{2} + 𝟗 \cdot 16^{1} + 𝟔 \cdot 16^{0}$ $𝐅 A 96_{16} = 𝟏𝟓 \cdot 4096 + 𝟏𝟎 \cdot 256 + 𝟗 \cdot 16 + 𝟔 \cdot 1$ $𝐅 A 96_{16} = 61440 + 2560 + 144 + 6$ $𝐅 A 96_{16} = 64150$

Tabela de comparação entre os sistemas numéricos estudados

Decimal	Binário	Octal	Hexadecimal
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
18	10010	22	12
19	10011	23	13
20	10100	24	14
21	10101	25	15
22	10110	26	16
23	10111	27	17
24	11000	30	18
25	11001	31	19
26	11010	32	1A
27	11011	33	1B
28	11100	34	1C
29	11101	35	1D
30	11110	36	1E
31	11111	37	1F
32	100000	40	20
33	100001	41	21
34	100010	42	22
35	100011	43	23
36	100100	44	24
37	100101	45	25
38	100110	46	26
39	100111	47	27
40	101000	50	28

Motivação das bases 8 e 16 na computação

Estudamos sistemas numéricos octais e hexadecimais pois eles oferecem representações compactas e eficientes de números binários. Um único byte é composto por 8 bits. Para um ser humano, ler, memorizar e interpretar longas sequências de 0 e 1s é praticamente impossível e muito propenso a erros. O octal e o hexadacimal auxiliam nesse processo pois são baseados em potências de 2 ( $16 = 2^{4}$ e $8 = 2^{3}$ ). Cada dígito hexadecimal representa exatamente 4 bits em binário, e cada dígito octal representa 3 bits binários. O octal já foi mais utilizado no passado da computação, mas hoje predominantemente utilizamos o sistema hexadecimal para representar grandes números em binário.